Das HSG beim Tag der Mathematik an der Universität Heidelberg

Am 18. Februar 2020 fand an der Universität Heidelberg ein „Tag der Mathematik“ statt, an dem rund 300 Schülerinnen und Schüler in 62 verschiedenen Teams aus 31 Schulen teilnahmen. Darunter zwei Teams des Hohenstaufen-Gymnasiums mit den Schülerinnen und Schülern: Nele Götz, Mathis Ketterer, Thanh Nam Trinh, Moritz Schwab, Tom Backfisch, Nayeli Swarat, Jonas Veith, Hannah Wäsch und Jason Heiß. Begleitet wurden die Teams von Studienrat Philipp Hauke.

Nach einer interessanten Vorlesung zu Beginn, traten die Schulteams anschließend unterteilt in Unterstufe und Mittelstufe in Wettbewerben gegen die anderen Schulen an.

Unser Unterstufenteam bekam die Herausforderung gestellt bei einem Speed Wettbewerb innerhalb von nur 60 Minuten 50 Aufgaben zu lösen. Das Mittelstufenteam hatte es mit 6 Aufgaben zutun, welche sich durch hohe Komplexität auszeichneten.

Aufgabe 3.

Auf einer Geburtstagsfeier sind 31 Gäste eingeladen. Manche davon kennen sich, andere wiederum nicht. Beweise, dass es unter diesen Gästen mindestens zwei gibt, die die gleiche Zahl von Gästen kennen. Wir gehen davon aus, dass jeder Gast sich selbst kennt, und dass, wenn ein Gast A den Gast B kennt, auch der Gast B den Gast A kennt.

Die Lösung beschreibt Jonas kurz mit:

Nehmen wir an, die Gäste kennen jeweils verschiedene Anzahlen von Gästen. Da es 31 Gäste sind, kann ein Gast einen, zwei, . . . oder 31 Gäste kennen. Dies sind 31 Möglichkeiten. Somit muss jede dieser 31 Möglichkeiten (genau einmal) auftreten. Es gibt also einen Gast, der genau einen Gast kennt, und einen Gast, der 31 Gäste, d. h. alle Gäste kennt. Dies ist aber nicht möglich, da diese zwei Gäste sich entweder kennen – dann kennt aber der erste Gast mindestens zwei Gäste – oder sich nicht kennen, dann kennt aber der zweite Gast nicht alle Gäste. Unsere Annahme muss also falsch sein und daher gibt es zwei Gäste, die die gleiche Zahl von Gästen kennen.

Besonders Aufgabe 5 hat alle Teams vor Probleme gestellt:

Aufgabe 5.

Finde alle sechsstelligen Zahlen der Form abcabc, die durch 91 teilbar sind. Finde alle sechsstelligen Palindromzahlen (also Zahlen der Form abccba), die durch 91 teilbar sind.

Die Lösung wird am Ende des Artikels präsentiert. Eigene Überlegungen werden an dieser Stelle begrüßt!

Im Anschluss an die Wettbewerbe trafen wir uns in der Zentralmensa der Uni-Heidelberg zum Mittagessen wieder. Während am Nachmittag die Aufgaben korrigiert wurden, gab es für die Schülerinnen und Schüler ein interessantes Rahmenprogramm mit mathematischen Vorträgen und Workshops.

Am Ende des Tages warteten alle gespannt auf die Siegerehrung. Für einen Platz unter den besten fünf hat es dann leider nicht ganz gereicht, wir waren im Mittelfeld zu finden. Mit guten Ergebnissen, neuen Erfahrungen und viel Ehrgeiz möchten wir auch nächstes Jahr wieder an dem Wettbewerb teilnehmen und versuchen das diesjährige Ergebnis zu toppen.

…und hier die angekündigte Lösung zu Aufgabe 5:

Es ist 1001 = 7 • 11 • 13 = 11 • 91, so dass die Zahl bcabc = 1001 • abc in jedem Fall durch 91 teilbar ist. Vergleichen wir unser sechsstelliges Palindrom abccba damit, so erhalten wir

abccba = abcabc + 100(c – a)+ 1(a – c)
= 99(c – a) + 91 • 11 • abc

Also ist abccba genau dann durch 91 teilbar, wenn 99(c − a) durch 91 teilbar ist. Da 99 = 9 · 11 und 91 = 7 · 13 teilerfremd sind, ist dies genau dann der Fall, wenn 91 ein Teiler von c−a ist. Weil c und a Ziffern sind, folgt, dass abccba genau dann durch 91 teilbar ist, wenn c − a = 0, also c = a gilt. Somit sind genau die 90 sechsstelligen Palindrome der Form abaaba durch 91 teilbar.

q. e. d.

Bericht von Philipp Hauke